확률 Probability 조건부 확률 Conditional Probability

확률 Probability

 

상대 도수에 의한 정의

- 똑같은 실험을 무수히 반복할 때 어떤 일이 일어나는 비율

ex) 다음날 눈이 올 확률?

 

 고전적 정의

 

표본공간 Sample Space

- 모든 가능한 실험 결과의 집합

 

사건

- 관심 있는 실험 결과들의 집합

- 표본공간의 부분집합

 

어떤 일이 일어날 확률

-표본공간의 모든 원소가 일어날 확률이 같은 경우

= 사건 원소의 수/표본공간 원소의 수

 

A가 어떤 사건일 때 A가 일어날 확률은

P(A)

P(A) = 1 반드시 사건이 일어남

P(A) = 0  반드시 사건이 일어나지 않음

0 <= P(A) <= 1

 

고전적 확률

- 표본공간과 사건의 원소의 수를 세야 하기 때문에, 경우의 수를 쉽게 세는 방법이 필요하다

- 조합 Combination 사용

 

조합 Combination

 

- 어떤 집합에서 순서에 상관없이 뽑은 원소의 집합

 

n개 중 r개를 뽑는 조합의 수

nCr = ( n ) =      n!     

          ( r )    r!( n - r )!

 

 

덧셈법칙 Addition Law

 

사건 A나 B가 일어날 확률

P( A ∪ B ) 

사건 A와 B가 동시에 일어날 확률

P( A ∩ B )

 

P( A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P( A ∩ B )

 

 

 

서로배반 Mutually Exclusive

 

두 사건의 교집합이 공집합일 경우

P( A ∩ B ) = 0

A와 B가 동시에 발생하는 경우가 없다.

따라서

P( A ∪ B ) = P(A) + P(B) 

 

 

 

조건부 확률 Conditional Probability

 

어떤 사건 A가 일어났을 때, 다른 사건 B가 일어날 확률

P( B|A ) = P( A ∩ B ) / P(A)

 

 

 

곱셈법칙 Multiplication Law

 

P( B|A ) = P( A ∩ B ) / P(A)

P( A ∩ B ) = P( B|A ) * P(A)

 

 

 

서로독립 Mutual Independence

 

 

어떤 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어나는 것과 관련이 없을 때

P( B|A ) = P(B)

 

P( A ∩ B ) = P( B|A ) * P(A)

P( A ∩ B ) = P(B) * P(A)

P( A ∩ B ) = P(A) * P(B)