좌표계 변환 Change of Basis

좌표계

A(좌표계)x(좌표값) = I(표준좌표계)b(좌표값)

행렬 : 좌표계

벡터 : 좌표값

 

벡터는 크기와 방향을 가진 물리량이다.

좌표계를 도입한 후, 벡터의 시작점을 원점으로 맞추고 끝점의 위치를 벡터 v의 수학적 표현으로 정의한다,

- v의 크기 : 화살표의 길이

- v의 방향 : 화살표의 방향을 벡터로 표현

 

단위행렬, 항등행렬이 좌표계로 적용된다.

 

새로운 좌표계를 만드는 것은 벡터 v에 도착하기 까지 과정을 v1, v2를 몇번이나 사용하였는지 표현하는 것

 좌표계의 방향으로 좌표값 만큼의 가중치를 곱하면 b의 좌표값이 나온다.

Ax = 항등행렬b

결국 좌항의 좌표계는 단위행렬이기 때문에 b값이 그대로 좌표값이 된다. 

(b1,b2)

b의 좌표값은 열벡터를 가로로 나열해 이렇게 표현 가능해진다.

 

그래프로 표현하기 쉽다.

 

좌표계 변환 Change of Basis

 

역행렬을 구할때 좌표계 변환으로 볼 수 있다.

 

표준좌표계 standard coordinate system에서

Ax = b

A(A역행렬)x = (A역행렬)b

x = (A역행렬)b

 

좌표계 변환 change of basis

여기에서 Ix = (A역행렬)b

 

Q) 2-벡터 벡터 v가 표준좌표계에서 (2,3) 일때 벡터(3,1), (1,-2)를 기저벡터로 가지는 좌표계에서 해당 벡터 v는 어떤 좌표값을 가질까?

 

(3 1)                  (2)

(1 -2)  = A          (3) = v

Ax = Iv, 표준좌표계는 단위 행렬을 의미한다.

A) (1,-1)

 

Q) 3-벡터 벡터 v가 표준좌표계에서 (2,1,3) 일때 벡터(1,3,1) (1,-2,2)을 기저벡터로 가지는 좌표계에서 해당 벡터 는 어떤 좌표값을 가질까?

 

(1 1)                   (2)

(3 -2)                  (1)

(1 2) = A             (3) = v

Ax = Iv

A) 3차원이지만 2차원의 평면처럼 다룰 수 있다는 것을 의미